User:Youn's6464

Fonctions linéaires et affines
=1. Fonctions linéaires=

Définition
Une fonction linéaire est une fonction définie sur R\mathbb{R}R par une formule du type : x↦axx\mapsto axx↦ax où a∈Ra \in \mathbb{R}'a∈R. aaa s’appelle le coefficient directeur.

Remarque
La définition ci-dessus indique que si ff f est une fonction linéaire, les valeurs de f(x)f\left(x\right) f ( x ) sont proportionnelles aux valeurs de xxx, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient directeur aa'a.

Propriété
La courbe représentative d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.

Exemple f(x)=ax  avec a=1x\mapsto \frac{

Définition
Une fonction affine est une fonction définie sur R\mathbb{R}R par une formule du type : x↦ax+bx\mapsto ax+bx↦ax+b où a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R et b∈Rb \in \mathbb{R}'b∈R. aaa s’appelle le coefficient directeur et bbb l’ordonnée à l’origine.

Remarque
Si b=0b=0'b=0, la fonction est linéaire. Les fonctions linéaires sont donc des cas particuliers des fonctions affines.

Propriété
La courbe représentative d’une fonction affine est une droite.

Exemple
http://labomath.free.fr/qcms/seconde/affines/affines.pdf

Propriété
Soit ff f une fonction affine de représentation graphique D\mathscr D D et soient AAA et BB B deux points de D\mathscr D' D. Le rapport yB−yAxB−xA\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} ​ x  ​ B  ​ ​−x  ​ A ​ ​  ​   ​ y  ​ B  ​ ​− y  ​ A ​ ​ ​ ​ ne dépend pas des points AAA et BB B choisis et est égal au coefficient directeur de la droite D\mathscr D D :'

a=yB−yAxB−xAa = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}a= ​ x  ​ B  ​ ​−x  ​ A ​ ​  ​    ​  y  ​ B  ​ ​− y   ​ A  ​ ''​ ​ ​

Théorème
Une fonction affine est : ​
 * strictement croissante si son coefficient directeur est strictement positif.
 * strictement décroissante si son coefficient directeur est strictement négatif.
 * constante si son coefficient directeur est nul.