User:Boazj

$$ % Generated by GrindEQ Word-to-LaTeX 2008 % ========== UNREGISTERED! ========== Please register! ========== % Plain TeX

\input graphicx \font\Large = cmr10 scaled \magstep 2 \font\tiny = cmr10 scaled \magstep 0 \font\small = cmr10 scaled \magstep 0 \def\mbox{\hbox} \def\textbackslash{$\backslash$}

\noindent

\noindent

\noindent

\noindent

\noindent אריאל ווסקובעמוד 1 מתוך 4הרצאה -- מרצה

$$13/08/09$$ חדו"א 2

\noindent \underbar{הרצאה 2}

\noindent אינטגרביליות של פונקציה רציפה

\noindent \underbar{משפט}: תהי $f\left(x\right)$ פונקציה רציפה בקטע סגור $\left[a,b\right]$. אזי פונקציה $f\left(x\right)$ אינטגרבילית בקטע זה.

\noindent \underbar{הוכחה}: מספיק להראות שלכל $\varepsilon >0$ קיימת חלוקה ${\rm P}$ של הקטע כך ש-

$$\underbrace{U\left({\rm P}\right)-L\left({\rm P}\right)}_<\varepsilon $$ תזכורת:

$$U\left({\rm P}\right)-L\left({\rm P}\right){\rm =}\sum^n_{k=1}{\left(M_k-m_k\right)\cdot \Delta x_k}$$ /תזכורת

\noindent נתון כי $f\left(x\right)$ רציפה בקטע סגור.לפי משפט קנטור, $f\left(x\right)$ רציפה ב-$\left[a,b\right]$ במידה שווה.

\noindent לכן, קיים $\delta =\delta \left(\varepsilon \right)$ כך ש-

\noindent $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<{{\varepsilon }\over {b-a}}$ לכל $x_1,x_2\in \left[a,b\right]$ המקיימים $\left|x_1-x_2\right|<\delta $.

\noindent

\noindent תהי $P$ חלוקת הקטע $\left[a,b\right]$ בעלת קוטר חלוקה הקטן מ-$\delta $.

$$d={\mathop{\max }_{1\le i\le n} \Delta x_k\ }\ {\rm חלוקה\ קוטר}\star $$

$$U\left({\rm P}\right)-L\left({\rm P}\right){\rm =}\sum^n_{k=1}{\left(M_k-m_k\right)\cdot \Delta x_k}{\rm \ }{\rm מתקיים}$$

$$m_k={\mathop{\min }_{\left[x_{k-1},x_k\right]} f\left(x\right)\ },\ \ M_k={\mathop{\max }_{\left[x_{k-1},x_k\right]} f\left(x\right)\ }\ {\rm כאשר}$$ (ניתן לרשום $max$ ו-$min$ במקום $sup,inf$ מפני ש-$f\left(x\right)$ רציפה בכל אחד מהקטעים.

\noindent

\noindent לפי הבחירה של $d$, אפשר לטעון כי $M_k-m_k\le {{\varepsilon }\over {b-a}}$ לכל $1\le k\le n$. ומכאן נובע כי

$$U\left(P\right)-L\left(P\right)=\sum^n_{k=1}{\left(M_k-m_k\right)\Delta x_k}\le {{\varepsilon }\over {b-a}}\sum^n_{k=1}{\Delta k}={{\varepsilon }\over {b-a}}\cdot \left(b-a\right)$$ משפט: כל פונקציה חסומה בעלת מספר בן מניה של נקודות אי-רציפות, אינטגרבילית.

\noindent משפט: תהי $f\left(x\right)$ פונקציה חסומה בקטע $\left[a,b\right]$. נניח שלכל $\varepsilon >0$ קיימת סדרה של תת-קטעים של $\left[a,b\right]$ המכסה את כל נקודות אי-הרציפות של $f\left(x\right)$ בקטע זה, כך שהאורך המשותף של התת-קטעים יהיה קטן מ-$\varepsilon $.אז $f\left(x\right)$ אינטגרבילית ב-$\left[a,b\right]$

\noindent המחשה:

\noindent

\noindent

\noindent

\noindent

\noindent

\noindent ככה שסכום הקטעים קטן מ-$\varepsilon $.

\noindent

\noindent הוכחה: צ"ל שלכל $\varepsilon >0$ קיימת חלוקה $P$ כך ש-$U\left(P\right)-L\left(P\right)<\varepsilon $.

\noindent נכסה את כל נקודות אי-הרציפות ע"י סדרת קטעים כך ש- האורך המשותף של הקטעים יהיה קטן מ-${{\varepsilon }\over {2\left(M-m\right)}}$ כאשר $M,m$ מסמלים את $m={\inf f\left(x\right)\ }M={\sup  f\left(x\right)\ }$.

\noindent $\star ${\it }את נקודות החלוקה אנו מכסים בקטעים כל כך קצרים, וחלק גדול מאד מהפונקציה הוא רציף.

\noindent בתחום המשלים לקטעים שבחרנו, הפונקציה $f\left(x\right)$ רציפה ולפי משפט קנטור, אנו יכולים לחלק את התחום המשלים לקטעים כך שהתנודות של $f\left(x\right)$ יהיו קטנות מ-${{\varepsilon }\over {2\left(b-a\right)}}$ לכל אחד מהקטעים המשלימים.

\noindent

$$U\left(P\right)-L\left(P\right)=\sum^n_{k=1}{\left(M_k-m_k\right)\Delta x_k}=\underbrace{\sum^n_{k=1}{\left(M^'_k-m^'_k\right)\Delta x^'_k}}_+\underbrace{\sum^n_{k=1}{\left(M^{}_k-m^{}_k\right)\Delta x^{}_k}}_\le \left(M-m\ \right)\cdot \sum{\Delta x^'_k}+{{\varepsilon }\over {2\left(b-a\right)}}\sum{\Delta x^{}_k}<\left(M-m\right)\cdot {{\varepsilon }\over {2\left(M-m\right)}}+{{\varepsilon }\over {2\left(M-m\right)}}\cdot \left(b-a\right)=\varepsilon $$ \eject

\noindent תכונות של פונקציות אינטגרביליות

תהיינה $f\left(x\right)$ ו-$g\left(x\right)$ פונקציות אינטגרביליות בקטע $\left[a,b\right]$. אזי:{\it }

\noindent $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ גם היא אינטגרבילית ב-$\left[a,b\right]$ ומתקיים:

$$\int^b_a{\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx}=\int^b_a{f\left(x\right)dx}+\int^b_a{g\left(x\right)dx}$$

{\it }תהי $f\left(x\right)$ אינטגרבילית ב-$\left[a,b\right]$ ויהי $c\in {\rm R}$. אזי $c\cdot f\left(x\right)$ אינטגרבילית ב-$\left[a,b\right]$ ומתקיים:{\it }

$$\int^b_a{\left[c\cdot f\left(x\right)\right]dx}=c\cdot \int^b_a{f\left(x\right)dx}$$

{\it }אם $f\left(x\right)$ אינטגרבילית ב-$\left[a,b\right]$ ומקיימת $\varphi \left(x\right)\ge 0$ לכל $x\in \left[a,b\right]$ אז מתקיים:{\it }

$$\int^b_a{f\left(x\right)dx}$$ הוכחה: לכל חלוקה $P$ מתקיים

$$U\left(P\right)=\sum^n_{k=1}{M_k\Delta x_k}\ge 0L\left(P\right)\ge 0$$ ולכן

$$\int^b_a{f\left(x\right)dx}={\mathop{\inf }_{P} U(P)\ }\ge 0$$

{\it }תהיינה $f\left(x\right)$ ו-$g\left(x\right)$ 2 פונקציות אינטגרבילית בקטע $\left[a,b\right]$ כך ש-$g\left(x\right)\le f\left(x\right)$ לכל $x\in \left[a,b\right]$ אז מתקיים:

$$\int^b_a{g\left(x\right)dx}\le \int^b_a{f\left(x\right)dx}$$ הוכחה: נסתכל בפונקציה $\varphi \left(x\right)=f\left(x\right)-g(x)$.

\noindent אזי $\varphi \left(x\right)\ge 0$ לכל $x\in \left[a,b\right]$. ו-$\varphi \left(x\right)$ אינטגרבילילת ב-$\left[a,b\right]$ לפי משפט I. בפרט:

$$0\le \int^b_a{\varphi \left(x\right)dx}=\int^b_a{\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int^b_a{f\left(x\right)dx}-\int^b_a{g\left(x\right)dx}}$$

$$\int^b_a{g\left(x\right)dx}\le \int^b_a{f\left(x\right)dx}$$ \eject

\noindent משפט ערך הביניים אינטגרלי 1

\noindent משפט: תהי $f\left(x\right)$ פונקציה רציפה בקטע $\left[a,b\right]$ אזי קיימת נקודה $c$ כך ש- $a\le c\le b$ כך ש-

$$\int^b_a{f\left(x\right)dx}=f\left(c\right)\cdot \left(b-a\right)$$ {\it }

\noindent

\noindent

\noindent

\noindent

\noindent

\noindent \underbar{הוכחה}: נסמן

$$m={\mathop{\min }_{\left[a,b\right]} f\left(x\right)\ },\ \ M={\mathop{\max }_{\left[a,b\right]} f\left(x\right)\ }$$

$$\forall x\in \left[a,b\right],\ \ m\le f\left(x\right)\le M$$ לפי $IV$ נקבל

$$\int^b_a{mdx}\le \int^b_a{f\left(x\right)dx}\le \int^b_a{Mdx}$$

$$m\left(b-a\right)\le \int^b_a{f\left(x\right)dx}\le M\left(b-a\right)$$ נחלק את האגפים ב-$\left(b-a\right)$

$$m\le {{\int^b_a{f\left(x\right)dx}}\over {b-a}}\le M$$ לפי משפט קושי עבור פונקציות רציפות, קיימת נקודה $c\in \left[a,b\right]$ כך ש-

$$f\left(c\right)={{\int^b_a{f\left(x\right)dx}}\over {b-a}}$$ כלומר,

$$\int^b_a{f\left(x\right)dx}=f\left(c\right)\left(b-a\right)$$ {\it }

$$dimitryg@hit.ac.ildimitryg@bgumail.ac.il$$

\bye

% == UNREGISTERED! == GrindEQ Word-to-LaTeX 2008 ==

$$