User:Роман210935

 Это красиво 



  Всем известно числовое равенство 32+42=52, в левой части которого стоит сумма двух чисел, одно из которых на единицу больше другого, а в правой части квадрат целого числа.

 Есть ли еще такие пары чисел, стоящих рядом в натуральном ряду, квадраты которых в сумме давали бы квадрат целого числа ? Есть. Вот примеры:

                                      202+212=292ф,

                                      1192+1202=1692.

 И вообще, их бесконечно много.

 А вот способ нахождения таких пар.

 Составляем числовую последовательность такую, каждый член которой равен полуразности двух стоящих рядом по обе стороны от него членов.

                           Un+1=(Un+2 –Un}/2.

   или                  Un+2 =Un +2Un+1.

 Последовательность эта рекуррентная. Рекуррентная значит возвратная, т. е. для того, чтобы найти любой её член, начиная с некоторого, нужно вернуться, возвратиться к определённому числу впереди стоящих членов. В нашем случае к двум. И вся последовательность определится двумя первыми, и это должны быть U 1 =1, U 2 =3. Тогда U 3 = U 1 +2 U 2 = 1+2 3 = 7,  U 4 = U 2 + 2 U 3 = 3+ 2 7 =17,  U 5 = 41,  U 6 =undefined99,  и  т. д.

     Запишем эту последовательность:   1, 3 , 7, 41, 99,  239,   … .

' Произведение любых двух рядом стоящих членов этой последовательности даёт одно из искомых чисел. Если это первое найденное число равно 3  или закачивается на  3  или 9, то второе число на единицу больше этого первого найденного числа. Если это первое число оканчивается на  1  или  7, то второе число на единицу  менше. '

 Итак:

 Если первое число равно  3 * 7=21, то второе число равно  20. 202 + 212 = 292.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> Если первое число рано 7 * 17 =119, то второе число рано 120. 1192 + 1202 =1692.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> Если первое число равно  17 * 41 = 697, то второе число равно 696. 6962 +  6972 = 9852.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> И так далее.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> При помощи последовательностей, составленных по приведенному выше правилу, можно находить и другие пары чисел, квадраты которых в сумме давали бы квадрат целого числа, но сами числа разнились бы уже не на единицу, а на другие величины.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> Вернее, первый член последовательности всегда равен единице, а второй – любое нечетное число. Величину, на которую разнятся искомые числа, можно определить по формуле:

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal">                         D = (( U 2 -1)2/2 – 1)( --1) n+1 ,

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> где  n --  порядковый номер меньшего члена последовательности, участвующего в произведении. Тогда:

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> если  U 1 =1 и  U 2 =5, то  U 3 = U 1 +2 U 2 =1+2 * 5=11, U 4 =27, и т. д.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> Последовательность  будет:   1, 5, 11, 27, 65, …            D =((5 –1)2/2 –1)=7.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> U 1 U 2 =1*5=5          52 + (5+7)2 = 52+122=132.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> U 2 U 3 =5 * 11= 55    552 + (55—7)2= 552 + 482 = 732.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> U 3 U 4 =11  27 = 297     2972 + (297+7)2 =2972 + 3042 =4252. И так далее.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> Если  U 1 =1 и U 2 =7,  то U 3 = U 1 +2 U 2 =1+2  7= 15,  U 4 =37, и так далее.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> Последовательность будет:            1, 7, 15, 37, 89, …       d =((7—1)2/2—1)=17.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> U 1 U 2 =1*7=7            72+ (7+17) = 72+242=252.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> U 2 U 3 =7*15=105            1052+ (105—17)2=1052+882=1372.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> U 3 U 4 =15*37=555         5552+ (555+17)2=5552+5722=7972.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal">             И так далее.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal">             Возможно,  этим  определяются все случаи, когда сумма квадратов двух чисел

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> равна квадрату целого числа.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal">             Запишем два равенства:

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal">             (ab )2 + ( ab + d )2 =( a 2 + ab + d )2,

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal">             (bc)2 + (bc – d)2 =(b2 +bc – d)2,

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> где  a, b , c и d   целые числа.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal">             В левой части этих равенств стоят суммы квадратов двух чисел, а в правой стоят квадраты целых чисел. Выясним,  при каких условиях эти равенства соблюдаются.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> Решая эти равенства совместно относительно  С  и исключая при  этом  d ,получим:                                c = a + 2 b.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> Заменяя здесь  a, b   и  с  соответственно на  Un , Un +1   и  Un +2 , получим:

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal">                                    Un+2=Un + Un+1.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal"> Замечательная последовательность, и связь её с суммой квадратов двух чисел  совершенно не очевидна. Очень интересно и даже красиво.

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal">

<p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-indent:35.45pt;line-height:normal">